运用余数思考

@课前对话：

　　1，奇数是什么？1，3，5，7，9...奇数就是被2除余1的整数。

　　2，偶数是什么？能被2整除的整数。

　　3，除法就像分组，余数来确定它属于哪个组。

　　　　(1)，例如下边的例子，今天星期日，判断100天以后是星期几，100除以7，将这100天分组，就是14周零2天，星期日过2天，就是星期2，余数判断结果属于星期2组。

　　　　(2)，自己总结的一个通俗易懂的例子，例如100个学生，老师说每7个人一组，那就用100除以7，这就是分组。例如，一个学生是23号，23除以7余2，那这个学生就是第4组第2号，这就是余数来确定你属于哪个组。除以8，就是8个人一组。

@开始本章学习内容：

1，余数是什么？余数就是作除法运算时剩下的数。

2，无论在数学还是在编程中，余数都起着非常重要的作用。

3，今天是星期日，那么100天以后是星期几？

　　98是7的倍数，98天后是星期日(98天后，那天就是星期日)，99天后是星期一，100天后是星期二。

---运用余数思考：

　　假设今天是星期日，100天后的星期数就是"100除以7的余数"。

　　100/7=14余2，因此100天后是星期二。

4，余数的力量---将较大的数字除一次就能分组。

　　　　(1)，问题：求一亿天后的星期数，靠数数就解决不了问题了。即使1秒数1下，数到1亿至少也要花费3年以上的时间。

　　　　而如果运用余数的话，1亿天以后的星期数很快就能算出来。如下所示：

　　　　100000000/7=14285714余2

　　　　因为余数为2，所以1亿天以后是星期二。

　　　　因为余数为2，所以1亿天以后是星期二。

　　　　n天后的星期数，可以通过n除以7的余数来判断。因为星期数时以7为周期循环的。

　　　　在面对难以直接计算的庞大数字时，只要发现它是如何循环的(即找到它的规律)，就能通过余数的力量将其降服。

　　　　(2)，今天是星期日，那么10^100天以后是星期几？这个数有100个0。

　　　　这个数字太大了，计算起来相当费力，即使借助计算器也很难完成。我们找出它循环的规律。

果然有规律呢！余数以1，3，2，6，4，5...的顺序循环，星期数以一，三，二，六，四，五...的顺序循环。这个周期性可以通过笔算较快得出。

我们通过观察发现，每增加6个0，星期数就相同，因此周期为6。将0的个数除以6，得到的余数为0，1，2，3，4，5的其中之一，他们分别对应星期一，星期三，星期二，星期六，星期四，星期五(咦？没有星期日呢)。

因此，10^100天以后的星期数，可以将天数中的0的个数(10^100有100个0)除以6，通过所得的余数来判断。我们来计算一下。

　　　　100/6=16余4

余数为4，因此10^100天以后是星期4。

　　　　答案：星期四。

　　(3)，发现规律，在上边第一题中，我们借助数字的规律，解答出了星期数。在第二题中，我们找到了0的个数的规律，退出了答案。使用这种方法，就连非常遥远的未来的星期数页可以很快算出来。我们这就试算一下"10^1亿"天以后的星期数。

　　　　10^1亿天以后：

　　　　　　100000000/6=16666666余4

余数为4，所以答案是星期四。当然，恐怕到那时宇宙都已经消失了吧......

由此可见，在处理难以计算的超大数字时，发现与之相关的规律是相当重要的。余数可谓是有效利用规律的工具。

5，乘方的思考题：

　　(1)，1234567^987654321的个数是什么呢？

提示：通过试算找出规律。1234567^987654321的值无法用计算器算出来。即使用计算机程序来算，由于位数过多，计算过程也并不简单。

因此，我们首先从较小的数字着手，试算一下。

　　　　1234567^1=1234567

　　　　1234567^2=1524155677489

　　　　1234567^3=恩......

很快数字就变得很大了，试算也很难进行下去了。

且慢，大家要记得现在要求的不是1234567^987654321的乘方，而只是"个位上的数字"。那么，只要找到规律，仅凭笔算就能求出答案哦！

---答案：

能影响两个数字(或者多个数字)乘方结果的个位数的，只有这两个数字的个位数。也就是说，将1234567的个位数7进行乘方，只看乘方结果的个位数就行了，1234567的十位以上的数字123456可以暂且忽略。

我们再来试算一下。

　　　　　　1234567^0的个位=7^0的个位=1

　　　　　　1234567^0的个位=7^1的个位=7

　　　　　　1234567^0的个位=7^2的个位=9

　　　　　　1234567^0的个位=7^3的个位=3      7的3次方等于343

　　　　　　1234567^0的个位=7^4的个位=1

　　　　　　1234567^0的个位=7^5的个位=7

　　　　　　1234567^0的个位=7^6的个位=9

　　　　　　1234567^0的个位=7^7的个位=3

　　　　　　1234567^0的个位=7^8的个位=1

　　　　　　1234567^0的个位=7^9的个位=7

算到这里，就发现规律了。个位是1，7，9，3这四个数字的循环，即周期为4。

由于周期为4，在求1234567^987654321的个位数时，只要用指数987654321除以4算出余数就可以了。987654321除以4的余数为0，1，2，3其中之一，他们分别对应1，7，9，3。

　　　　　　因为987654321除以4余1，所以答案为7。

　　　　　　答案：1234567^987654321的个位数时7。

　　(2)，回顾：规律和余数的关系

　　　　要点就是找出规律。只要找出规律，剩下的问题就可以通过余数来解决。

　　　　运用余数，大数字的问题就能简化成小数字的问题。

　　6，铺设草席的思考题(在房间里铺设草席)

　　　　有这样一个房间。使用图中右下角所示的草席能够正好铺满房间吗？前提是不能使用半张草席。

　　　　如果不能的话，请说明理由。

提示：先计算一下草席数

我们先以半张草席为单位计算一下房间面积。1张草席由2个半张组成，(第一个判断？)如果房间面积按"半张草席"计算得到的结果为奇数，则说明"不能正好铺满"。

计算结果是房间可以铺下62张"半张草席"。可是62是偶数，这就不能光靠其奇偶性来判断能否正好铺满了。

还能找出更好的分类方法吗？

　　　　(第二个判断？)以半张草席为单位涂上颜色以示区分。

现在我们就数一数分别有几张黑色和白色的"半张草席"。

　　　　　　* 黑色的"半张草席"   30张

　　　　　　* 白色的"半张草席"   32张

而一整张草席，是由黑色的"半张草席"和白色的"半张草席"组成的。也就是说，不管用几张草席铺满房间，黑色的"半张草席"和白色的"半张草席"在数量上必须相等猜对。

由此我们可以得到答案----不能正好铺满房间。

---回顾总结：

几乎每翻开一本智力书都能看到类似的思考题。原来这个问题也可以通过奇偶校验来解决呢！

如果想通过计算解答，可以进行如下思考：

　　　　　　* 将黑色的"半张草席"的数量记作+1

　　　　　　* 将白色的"半张草席"的数量记作-1

然后将两种"半张草席"的数量相加，再判断计算结果是否为0(1加-1)。如果不是0，就不能正好铺满。不过假如计算结果为0，也并不一定说明能正好铺满。因为"逆命题不一定为真"。

使用这种奇偶校验的判定方法是非常有效的。铺设草席的方法有很多种，要证明"不能铺满"的话，必须罗列出所有情况。然而，只要运用奇偶校验，不用反复试验就能回答"不能"。(程序中也可以这样使用奇偶性判断，而不用反复的试验判断)

这里，希望大家注意的是，要进行有效的奇偶校验，必须找到"合适的分类方法"。例如在铺设草席的问题中，我们为房间的方格涂上了黑白相间的颜色。我们不需要反复试验，需要的是灵感。

@总结：

1，对于难以处理的庞大数值，只要发现其周期性并使用余数，就能够简化问题。

2，通过草席铺设问题，了解到了只要运用奇偶性就能省略反复试验的过程。

3，当我们想要详细地研究事物时，往往容易陷入想正确把握所有细节的思维。但是，像奇偶性校验那般，较之正确的把握，有时准确的分类则更为有效。(不用测试所有的可能，有一个不可能就不可能了。)

4，人们只要发现了周期性和奇偶性，就能将大问题转换为小问题来解决。余数就是其中一种重要的武器。下一章，我们将学习只需两步就能解决无穷问题的方法------数学归纳法。